Tìm hiểu về : Bổ đề cơ bản

GS Ngô Bảo Châu và bổ đề Langlands

Trong toán học, bổ đề là một giả thuyết đã được chứng minh hoặc chắc chắn sẽ được chứng minh dùng làm nền tảng để từ đó các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu và đạt tới một kết quả cao hơn.

   Năm 1967, nhà toán học Robert Langlands, người Canada đưa ra một loạt các giả thuyết táo bạo mà đa số cho đến nay vẫn chưa được chứng minh, và sẽ là đề tài nghiên cứu cho nhiều thế hệ các nhà toán học trong tương lai. Nếu được chứng minh sẽ gắn kết nhiều lĩnh vực toán học hiện đại lại thành một thể thống nhất, chẳng hạn giữa hình học đại số và số học.

    Một trong những công cụ được phát triển từ chương trình Langlands là “công thức vết Arthur-Selberg”, một phương trình cho thấy có thể dùng thông tin hình học để tính toán thông tin số học.

Nhưng Langlands gặp một trở ngại lớn khi sử dụng công thức này, vì cứ xuất hiện những tổng số phức tạp. Theo Langlands các tổng số này bằng nhau nhưng ông không thể nào chứng minh được điều đó. Ông xem đây là một bài toán đơn giản nên gọi nó là “bổ đề” - một kết quả phụ được dùng để chứng minh những kết quả quan trọng hơn. Thế nhưng không ai chứng minh được nó, người ta mới gọi nó bằng cái tên quan trọng hơn: “Bổ đề Cơ bản” .

     Nhiều nhà toán học hàng đầu đã bỏ công sức chứng minh bổ để cơ bản nhưng chỉ mới thành công trong một số trường hợp đặc biệt. Và GS Ngô Bảo Châu là người đã chứng minh được bổ đề này trong trường hợp tổng quát, làm sáng rõ những nghi vấn lâu nay, tạo niềm tin mới cho nghiên cứu toán học và nhiều ngành khoa học khác.

       Xin mượn lời GS Châu trong một cuộc phỏng vấn với Báo Thanh Niên trước đây nói về bổ đề cơ bản và Chương trình Langlands:

“Các giả thuyết Langlands là động lực cho sự phát triển của toán học lý thuyết trong vòng bốn chục năm trở lại đây. Rất nhiều bài toán tưởng như là những viên gạch riêng lẻ, nay được các giả thuyết của Langlands sắp xếp lại thành một công trình kiến trúc vĩ đại. Cá nhân tôi xếp ngang hàng các giả thuyết của Langlands với hình học phẳng của Euclid hay phát minh ra nhóm Galois trong việc giải phương trình đại số...

Trong lĩnh vực toán lý thuyết, có hai nhánh lớn là Đại số và Giải tích. Bạn đừng nhầm lẫn các khái niệm đó với các khái niệm trong chương trình học toán ở bậc Phổ thông Trung học (PTTH). Ở bậc PTTH có 3 môn toán học: đại số, hình học và lượng giác. Ở đó, Đại số chỉ là các phép cọng trừ nhân chia thông thường trên các con số.

  Còn trong lĩnh vực toán lý thuyết, Đại số là ngành lý thuyết toán trừu tượng hơn nhiều, có nhiệm vụ nghiên cứu các phép toán trên các tập hợp.

Còn Giải tích lại là một nhánh của lý thuyết số. Ngành lý thuyết số này khá quen thuộc với nhiều người, đối tượng nghiên cứu của nó là các số nguyên (Z), số thực (R). Cùng với Phương trình vi phân, Giải tích là một phần của ngành lý thuyết số nói trên.

Giữa hai ngành toán - Đại số và Lý thuyết số, có rất nhiều khái niệm gần nhau như tuần hoàn (như hàm sin hay cos), đối xứng, đồng cấu (có cấu trúc đồng dạng qua các phép toán), đẳng cấu (đồng cấu mà cấu trúc đồng dạng là 1-1, tức rất giống nhau, như sinh đôi)...

Chương trình Langlands và “bổ đề cơ bản”

The fundamental Lemma and Langlands program

Với những lý do nói trên, năm 1967 Langlands đề xuất mối liên hệ mật thiết giữa đại số và giải tích (bộ phận của lý thuyết số), hoặc cụ thể hơn là sự tương ứng giữa một lớp nhóm (nhóm Lie semi-simple) và hình thức tự cấu (một khái niệm liên quan đến đồng cấu). Đấy là chương trình Langlands, một lý thuyết thống nhất lớn của toán học.

Đối với ông, tất cả lĩnh vực của toán học đều liên quan và liên kết với nhau, việc khó khăn là tìm những mắt xích liên kết đó. Sau nhiều năm miệt mài, Langlands đã thu lượm được một số kết quả và ông cũng đưa ra một vài giả thuyết. “Mặc dù những giả thuyết đó mỏng manh và táo bạo, thậm chí liều lĩnh, nhưng Langlands ước vọng một khi từng giả thuyết được chứng minh thì dần dần xuất hiện một "Nữ hoàng Toán học thống nhất vĩ đại". Điều này rất hấp dẫn bởi vì nếu có một vấn đề gì khó trong lãnh vực này, thì người ta có thể chuyển hoá vấn đề đó sang một vấn đề khác tương ứng ở lĩnh vực khác”.

Nhưng chương trình Langlands cần phải dựa trên “bổ đề cơ bản” (bổ đề là một mệnh đề Toán học mà từ đó người ta có thể có các kết quả quan trọng khác). Và nhiều người giành trí lực chứng minh bổ đề này. Bản thân Langlands và các cộng sự cũng chứng minh được cho một vài trường hợp riêng, nhiều người khác cũng thu được kết quả chứng minh cho nhiều trường hợp riêng khác.

MỘT VÀI DIỄN GIẢI VỀ BỔ CƠ BẢN CỦA GS LÊ BẢO CHÂU:

Việc chứng minh thành công Bổ đề Langlangds của Ngô Bảo Châu được đánh giá là một cuộc cách mạng trong toán học ở các khía cạnh sau đây:

1.Kết nối được mối quan hệ giữa các chuyên ngành tưởng như độc lập của toán học là số học, đại số, hình học và giải tích.Đó là 4 chuyên ngành từ khi ra đời đến nay gần như độc lâp và tách bạch nhau.

2.Bản thân số học, hình học, đại số và giải tích khi chưa được kết nối đã là công cụ tính toán mang lại rất nhiều hữu ích cho loài người. Sau khi được kết nối, tính hữu ích được nhân lên gấp bội, đặc biệt đối với các dạng bài toán kỹ thuật, ví dụ:

- Muốn tính được quĩ đạo của các con tàu vũ trụ bay vào không gian người ta phải dùng đến thuật toán mô phỏng trong đó giải tích là công cụ chủ yếu.

Trong giải tích, chuỗi Fourie và Laplace được sử dụng với các phép tính lập lên đến hàng ngàn, hàng vạn lần. Việc sử dụng số lần mô phỏng càng nhiều càng tốt kéo theo sự đòi hỏi phải có máy tính với tốc độ xử lý siêu tốc.

Quĩ đạo kỳ vọng của con tàu vũ trụ nếu chỉ dựa vào mức độ hội tụ của chuỗi Fourie hay Laplace không thôi sẽ là đơn trị. Trong trường hợp chuỗi Fourie hay Laplace không hội tụ thì xem như bó tay.

Hình học, số học và đại số cùng lúc hỗ trợ cho phép tính mô phỏng bằng giải tích có thể kiểm chứng được trong mọi tình huống mô phỏng.

3.Với kết quả phát minh nói trên, người ta ví số học, hình học, đại số và giải tích như là những bánh xe tách rời nhau. Việc chứng minh thành công bổ đề Langlands của Ngô Bảo Châu giống như việc anh đã tìm ra được cách kết nối 4 bánh xe độc lập để lắp vào cho cỗ xe Toán học, giúp nó hợp lực để đưa xe lao về phía trước. Sự hợp lực này sẽ giúp tăng tốc các ứng dụng của toán học vào đời sống…