Chuyện Đời , chuyện Người và nghiệp Toán: tháng 10 2015

Nói nhỏ :

Thứ Sáu, 30 tháng 10, 2015

NHỮNG ĐỊNH LÍ NỔI TIẾNG

Định lí Legendre : Một số tự nhiên M không thể biễu diễn thành tổng của ba số chính phương nếu và chỉ nếu M không có dạng M = 4^s (8m + 7) với s , m là hai số nguyên

● Legendre đã chứng minh định lí trên vào năm 1798 rằng tập hợp các số nguyên dương mà không phải là một tổng của ba số chính phương là S ={n ∈ N \ {0} | n = 4^s (8m + 7), với m, s ∈ N}.

● Một thời gian ngắn sau đó, vào năm 1801, Gauss đã tiến xa hơn Legendre, ông đã tìm được một công thức cho sự biểu diễn một số nguyên thành tổng của ba số chính phương.

●Theo Ewell thì cho đến nay chưa tìm thấy tác giả khác có phép chứng minh đơn giản của định lý này so với Gauss.

●Tại thời điểm hiện tại, chúng ta biết rằng định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của mười lăm định lý của Conway và Schneeberger, trong đó các nhà toán học này đã đưa ra các chứng minh về điều kiện để một số nguyên dương có thể biễu diển thành tổng của 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15 số chính phương. Bhargava cũng đã đưa ra một chứng minh đơn giản của định lý của Conway và Schneeberger , Kane đã chứng minh một định lí tương tự về các sô có thể biểu diễn thành tổng của các số tam giác .

NHỮNG ĐỊNH LÍ NỔI TIẾNG

Định lý Fermat-Euler về số nguyên tố

Mỗi số nguyên tố có dạng 4n+1 có thể được phân tích một cách duy nhất thành tổng của hai hai số chính phương (không kể đến thứ tự của các số hạng trong tổng).

●Định lý nổi tiếng này đã được phát hiện vào khoảng năm 1660 bởi Pierre de Fermat (1601-1665), nhà toán học người Pháp vĩ đại nhất của thế kỷ XVII. Định lí không được Fermat công bố, tuy nhiên, năm 1670, định lí này xuất hiện trong các ghi chú về tác phẩm của Diophantus được biên tập bởi con trai của Fermat và tiếc rằng không có chứng minh nào của Fermat về định lí .

●Đã nổ ra các tranh luận , nghi ngờ , liệu có phải Fermat đã phát minh ra định lí này hay không .

● Đã có rất nhiều nhà toán học nỗ lực tìm phép chứng minh định lí nhưng không đạt kết quả .

●Phép chứng minh đầu tiên của định lý đã được trình bày gần 100 năm sau đó bởi Leonhard Euler , trong chuyên luận bằng tiếng Latine: "Demonstratio theorematis Fermtiani, omnem numerum primum formae 4n+ 1 esse summam duorum quadratorum " (Novi Commentarii Academiae Petropolitanae ad annos 1754-1755, vol. V)